Question

已知數(shù)列{

2n-1

2n

}的前n項(xiàng)和為S_n，試證明：S_n＜3（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 證明：數(shù)列{

2n-1

2n

}的前n項(xiàng)和為S_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，
∴

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

2× 1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1

2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴S_n=3-

2n+3

2n

＜3．

點(diǎn)評：本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．