Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象如圖所示，把函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）若直線y=m與函數(shù)g（x）圖象在x∈[0，

π

2

]時有兩個公共點，其橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）已知△ABC內(nèi)角A，B，C且g（C）=0，向量

a

=（1，f（

C

4

））與向量

b

=（-2，λ）的夾角為鈍角，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的圖象可得周期，可得ω，代點（

π

3

，0）結(jié)合φ的范圍可得其值，再由圖象變換可得g（x）圖象，由對稱性可得所求；
（2）由g（C）=0可得角C，即可求得f（

C

4

），由題意可得

a

•

b

＜0，由此求得λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵由函數(shù)圖象可知：A=1，

T

4

=

7π

12

-

π

3

，有：T=π=

2π

ω

，可解得：ω=2，
又∵（

π

3

，0）在函數(shù)圖象上，故可得：sin（2×

π

3

+φ）=0，
∴可解得：2×

π

3

+φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜

π

2

，可解得：φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），
∴把函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的解析式是：g（x）=sin（2x-

π

6

）-1．
∴由函數(shù)圖象的對稱性，x1+x2=

2π

3

．
（2）∵g（C）=0，既有：sin（2C-

π

6

）-1=0，又0＜C＜π，可解得C=

π

3

．
∴f（

C

4

）=f（

π

12

）=sin（2×

π

12

+

π

3

）=1，
∵向量

a

=（1，1）與向量

b

=（-2，λ）的夾角為鈍角，
∴

a

•

b

=-2+λ＜0，解得λ＜-2，
故λ的取值范圍為：λ＜-2．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的對稱性和最值，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．