Question

已知函數f（x）=mlnx+

m

2

x2-x（m≠0）
（1）若函數在點（1，f（1））處的切線的斜率為1，求m的值
（2）若函數在[1，+∞）單調遞增，求m的范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出導數，求得切線的斜率，由題意可得m的方程，解得即可；
（2）求出導數，函數在[1，+∞）單調遞增，即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．運用參數分離和基本不等式求得右邊的最大值，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=mlnx+

m

2

x2-x的導數為f′（x）=

m

x

+mx-1，
則有函數在點（1，f（1））處的切線的斜率為2m-1=1，
解得m=1；
（2）由于f′（x）=

m

x

+mx-1，
又函數在[1，+∞）單調遞增，
即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
即有m（x+

1

x

）≥1即m≥

1

x+ 1 x

在[1，+∞）恒成立．
由x≥1，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當且僅當x=1取得最小值2，
則有0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
故m≥

1

2

．
即有m的范圍為[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查導數的運用：求切線的斜率和判斷單調性，主要導數的幾何意義和基本不等式的運用，運用參數分離和將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題是解題的關鍵．