Question

已知函數f（x）滿足：f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）f（x₂），且f（1）=

3

2

，求證：當n₁＜n₂屬于自然數時，f（n₁）＜f（n₂）

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據關系式先計算出f（0）=1，要得到結論只需證明當n＜n+1屬于自然數時，f（n+1）-f（n）＞0即可．

解答： 證明：根據題意，得f（1）+f（1）=2f（1）f（0），
又f（1）=

3

2

，所以f（0）=1．
對任意的實數t，因為f（t+1）+f（t-1）=2f（t）f（1）
=2f（t）×

3

2

=3f（t），
所以f（t+1）-f（t）=2f（t）-f（t-1）…（*）
又當x≥2時，f（

x

2

+

x

2

）+f（

x

2

-

x

2

）=2[f（

x

2

）]²，
即f（x）=2[f（

x

2

）]²-f（0）
=2[f（

x

2

）]²-1，
顯然對任意的正整數x，都有f（x）恒大于零…（**）．
下面用數學歸納法證明：當n＜n+1屬于自然數時，f（n+1）-f（n）＞0
①當n=1時，f（1+1）=2[f（1）]²-f（0）=2×(

3

2

)2-1=

7

2

＞

3

2

=f(1)，
即f（2）-f（1）＞0；
②假設n=k時成立，即f（k-1）＜f（k）．
則n=k+1時，由（*）及（**）可知
f（k+1）-f（k）=2f（k）-f（k-1）
＞2[f（k）-f（k-1）]＞0．
綜上，當n₁＜n₂屬于自然數時，f（n₁）＜f（n₂）．

點評：本題考查抽象函數表達式的意義和應用，靈活使用抽象函數的變形是解題的關鍵，屬中檔題．