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已知函數f(x)滿足:f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),且f(1)=
3
2
,求證:當n1<n2屬于自然數時,f(n1)<f(n2
考點:抽象函數及其應用
專題:函數的性質及應用
分析:根據關系式先計算出f(0)=1,要得到結論只需證明當n<n+1屬于自然數時,f(n+1)-f(n)>0即可.
解答: 證明:根據題意,得f(1)+f(1)=2f(1)f(0),
又f(1)=
3
2
,所以f(0)=1.
對任意的實數t,因為f(t+1)+f(t-1)=2f(t)f(1)
=2f(t)×
3
2

=3f(t),
所以f(t+1)-f(t)=2f(t)-f(t-1)…(*)
又當x≥2時,f(
x
2
+
x
2
)+f(
x
2
-
x
2
)=2[f(
x
2
)]2
即f(x)=2[f(
x
2
)]2-f(0)
=2[f(
x
2
)]2-1,
顯然對任意的正整數x,都有f(x)恒大于零…(**).
下面用數學歸納法證明:當n<n+1屬于自然數時,f(n+1)-f(n)>0
①當n=1時,f(1+1)=2[f(1)]2-f(0)=2×(
3
2
)2-1
=
7
2
3
2
=f(1)

即f(2)-f(1)>0;
②假設n=k時成立,即f(k-1)<f(k).
則n=k+1時,由(*)及(**)可知
f(k+1)-f(k)=2f(k)-f(k-1)
>2[f(k)-f(k-1)]>0.
綜上,當n1<n2屬于自然數時,f(n1)<f(n2).
點評:本題考查抽象函數表達式的意義和應用,靈活使用抽象函數的變形是解題的關鍵,屬中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=mlnx+
m
2
x2
-x(m≠0)
(1)若函數在點(1,f(1))處的切線的斜率為1,求m的值
(2)若函數在[1,+∞)單調遞增,求m的范圍.

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已知函數f(x)=
1
2
mx2-x
,g(x)=lnx.
(Ⅰ)設函數h(x)=eg(x)•f(x),當m=
2
3
時,求h(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)若函數F(x)=f(x)-g(x)+(2-m)x,求函數F(x)的單調區間.

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求|sinx-
3
4
cosx-
4
3
sin3x+cos3x|max,x∈R.

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科目:高中數學 來源: 題型:

集合A={x∈Z|
2x-1
x-4
<1
},B={x∈N|lg(x-1)
1
2
},從集合A,B中各取一個元素a,b,則a≠b的概率為(  )
A、
1
9
B、
8
9
C、
11
12
D、
37
40

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)的圖象在點M(1,f(1))處的切線方程式x+2y-5=0,則f(1)+f′(1)=
 

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