Question

已知函數f（x）=

1

2

mx2-x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）設函數h（x）=e^g（x）•f（x），當m=

2

3

時，求h（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數F（x）=f（x）-g（x）+（2-m）x，求函數F（x）的單調區間．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,分類討論,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）化簡h（x），求出導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，即可得到所求切線方程；
（Ⅱ）求出F（x）的導數，并分解因式，對m討論，當m≥0時，當m=-1時，當m＜-1時，當-1＜m＜0時，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間，注意定義域．

解答： 解：（Ⅰ）函數h（x）=e^g（x）•f（x）=e^lnx•（

1

2

mx2-x）=x•（

1

2

mx2-x）=

1

2

mx³-x²，
當m=

2

3

時，h（x）=

1

3

x³-x²的導數為h′（x）=x²-2x，
即有h（x）在x=1處的切線斜率為k=1-2=-1，
切點為（1，-

2

3

），
則h（x）在x=1處的切線方程為y+

2

3

=-（x-1），即為x+y-

1

3

=0；
（Ⅱ）函數F（x）=f（x）-g（x）+（2-m）x=

1

2

mx2-x-lnx+（2-m）x=

1

2

mx²-lnx+（1-m）x，（x＞0）
F′（x）=mx-

1

x

+1-m=

mx2+(1-m)x-1

x

=

(x-1)(mx+1)

x

，
當m≥0時，當x＞1時，F′（x）＞0，F（x）遞增，當0＜x＜1時，F′（x）＜0，F（x）遞減；
當m=-1時，F′（x）=

-(x-1)2

x

≤0，F（x）遞減；
當m＜-1時，-

1

m

＜1，當0＜x＜-

1

m

或x＞1時，F′（x）＜0，F（x）遞減，
當-

1

m

＜x＜1時，F′（x）＞0，F（x）遞增；
當-1＜m＜0時，1＜-

1

m

，當0＜x＜1或x＞-

1

m

時，F′（x）＜0，F（x）遞減，
當1＜x＜-

1

m

時，F′（x）＞0，F（x）遞增．
綜上可得，當m≥0時，F（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）；
當m=-1時，F（x）的減區間為（0，+∞）；
當m＜-1時，F（x）的增區間為（-

1

m

，1），減區間為（0，-

1

m

），（1，+∞）；
當-1＜m＜0時，F（x）的增區間為（1，-

1

m

），減區間為（0，1），（-

1

m

+∞）．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和判斷單調性及求單調區間，運用導數的幾何意義和正確分類討論是解題的關鍵．