Question

解下列關于x的不等式：
（1）

x-1

x-a2

＞0；
（2）（ax-1）（x+1）≤0．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）原不等式等價于（x-1）（x-a²）＞0，分類討論結合二次函數和二次函數不等式的解集可得；
（2）分類討論：當a=0時，解集為{x|x≥-1}；當a＞0時，解集為{x|-1＜x＜

1

a

}；當-1＜a＜0時，解集為{x|x＜

1

a

或x＞-1}；當a＜-1時，解集為{x|x＜-1或x＞

1

a

}；當a=-1時，解集為{x|x≠-1}；

解答： 解：（1）原不等式等價于（x-1）（x-a²）＞0
當a＜-1或a＞1時，a²＞1，不等式的解集為{x}x＜1或x＞a²}；
當-1＜a＜1時，a²＜1，不等式的解集為{x}x＜a²或x＞1}；
當x=±時，a²=1，不等式的解集為{x}x≠1}；
（2）當a=0時，原不等式可化為x+1≥0，可得解集{x|x≥-1}；
當a＞0時，方程（ax-1）（x+1）=0的兩根為-1和

1

a

，且-1＜

1

a

，
可得此時不等式的解集為{x|-1＜x＜

1

a

}；
當-1＜a＜0時，方程（ax-1）（x+1）=0的兩根為-1和

1

a

，且-1＞

1

a

，
可得此時不等式的解集為{x|x＜

1

a

或x＞-1}；
當a＜-1時，方程（ax-1）（x+1）=0的兩根為-1和

1

a

，且-1＜

1

a

，
可得此時不等式的解集為{x|x＜-1或x＞

1

a

}；
當a=-1時，方程（ax-1）（x+1）=0的兩根為-1和

1

a

，且-1=

1

a

，
可得此時不等式的解集為{x|x≠-1}；

點評：本題考查分式不等式的解集，涉及分類討論的思想，屬中檔題．