Question

已知數列{a_n}和{b_n}，其中a₁=1，且數列{a_n}的相鄰兩項a_n、a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩個實根．
（1）求證：數列{a_n-

1

3

×2ⁿ}是等比數列；
（2）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（3）設S_n為數列{a_n}的前n項和，問是否存在常數λ，使得b_n＞λS_n對任意的n∈N都成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用定義法證明只需

an+1- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

為常數即可．
（2）根據（1）的結論進一步求出數列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（3）由于（1）和（2）的通項已求出，直接對n進行分類討論，利用恒成立問題求出結論．

解答： （1）證明：數列{a_n}的相鄰兩項a_n、a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的兩個實根．
則：

an+an+1=2n anan+1=bn

所以：

an+1- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

=

2n-an- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

=-1（常數），
其中a₁=1，a₁-

2

3

=

1

3

故數列{an-

1

3

•2n}是以

1

3

為首項，公比為-1的等比數列．
（2）解：由于數列{a_n}是等比數列
所以：an-

1

3

•2n=

1

3

•(-1)n-1
解得：an=

1

3

[2n-(-1)n-1]
S_n=a₁+a₂+…+a_n=

1

3

[(2+22+…+2n-(-1)-(-1)2-…-（-1）ⁿ]
=

1

3

(2n+1-2-

(-1)n-1

2

)
所以：bn=anan+1=

1

9

(22n+1-(-2)n-1）
（3）假設存在實數λ使得b_n＞λS_n對任意的n∈N都成立，
則：只需滿足

1

9

(2n+1-1)(2n+1)＞

λ

3

(2n+1-2-

(-1)n-1

2

)即可．
①當n為正奇數時，

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0
由于2ⁿ⁺¹-1＞0，
所以：λ＜

1

3

(2n+1)對任意的正奇數都成立．
則：當n=1時，

1

3

(2n+1)=1
則：λ＜1．
②當n為正偶數時，

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

2λ

3

(2n-1)＞0
由于2ⁿ-1＞0
則：λ＜

1

6

(2n+1+1)對任意的正偶數都成立．
所以：

1

6

(2n+1+1)的最小值為

3

2

．
所以：λ＜

3

2

．
由①②得：λ＜1
故存在實數λ，使得b_n＞λS_n對任意的n∈N都成立，λ的范圍為：（-∞，1）．

點評：本題考查的知識要點：數列的求和，數列通項公式的求法，恒成立問題的應用，分類討論思想的應用，及相關的運算問題．