Question

如圖，⊙O的半徑OC垂直于直徑DB，F為BO上一點，CF的延長線交⊙O于點E，過E點的切線交DB的延長線于點A
（1）求證：AF²=AB•AD；
（2）若⊙O的半徑為2

3

，OB=

3

OF，求FE的長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）利用切線的性質、圓的性質、切割線定理即可得出；
（2）求出CF，利用CF•FE=DF•FB，求FE．

解答： （1）證明：連接OE，
∵AE切⊙O于點E，∴∠OEA=90°，∴∠OEC+∠CEA=90°，
∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，
∵OC⊥DB于點O，∴∠OCE+∠CFO=90°．
故∠CEA=∠CFO=∠AFE，∴AF=AE，
又∵AE切⊙O于點E，∴AE²=AB•AD，
∴AF²=AB•AD；
（2）解：∵OB=2

3

，OB=

3

OF，
∴OF=2，
∵OC=2

3

，
∴CF=

OF2+OC2

=4，
∵CF•FE=DF•FB=（2

3

+2）（2

3

-2）=8，
∴FE=

8

CF

=2．

點評：熟練掌握切線的性質、圓的性質、切割線定理是解題的關鍵．