Question

已知二次函數f（x）在x=

t+2

2

處取得最小值-

t2

4

（t≠0），且f（1）=0
（1）求f（x）的表達式
（2）若函數f（x）在閉區間[-1，

1

2

]上的最小值是-5，求對應的t和x的值．

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）（1）根據條件可設二次函數的頂點式f（x）=a（x-

t+2

2

）²-

t2

4

，由f（1）=0，可得a，從而求得f（x）表達式．
（2）根據對稱軸與區間的位置關系分三種情況進行討論，求出其最小值，令其等于-5，即可求得t值．

解答： 解：（1）設二次函數f（x）=a（x-

t+2

2

）²-

t2

4

，
又f（1）=0，所以a（1-

t+2

2

）²-

t2

4

=0，解得a=1，
所以f（x）=（x-

t+2

2

）²-

t2

4

（t≠0）；
（2）因為f（x）=（x-

t+2

2

）²-

t2

4

（t≠0）；
①當

t+2

2

＜-1，即t＜-4時，
f（x）_min=f（-1）=（-1-

t+2

2

）²-

t2

4

=-5，解得t=-

9

2

；
②當-1≤

t+2

2

≤

1

2

，即-4≤t≤-1時，
f（x）_min=f（

t+2

2

）=-

t2

4

=-5，解得t=±2

5

（舍去）；
③當

t+2

2

＞

1

2

，即t＞-1時，
f（x）_min=f（

1

2

）=（

1

2

-

t+2

2

）²-

t2

4

=-5，解得t=-

21

2

（舍去）．
綜上得，所求的t=-

9

2

，x=-1．

點評：本題考查二次函數在閉區間上最值問題及二次函數解析式的求解，考查分類討論思想、數形結合思想，屬中檔題