Question

已知函數f（x）=x²-x-1與g（x）=x³-x²-5x+m．
（1）?x₁∈[-2，2]，使得f（x₁）≤g（x₁）成立，求實數m的取值范圍；
（2）?x₂，x₃∈[-2，2]，使得f（x₂）＞g（x₃）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由題意可得x³-2x²-4x≥-1-m在x∈[-2，2]成立．令h（x）=x³-2x²-4x，求出導數，求出極值和最大值，即可得到m的范圍；
（2））?x₂，x₃∈[-2，2]，使得f（x₂）＞g（x₃）成立，即為在x∈[-2，2]，f（x）_max＞g（x）_min．：運用二次函數的值域求法和導數，求出極值和最值，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）?x₁∈[-2，2]，使得f（x₁）≤g（x₁）成立，即為
x²-x-1-（x³-x²-5x+m）≤0，即x³-2x²-4x≥-1-m在x∈[-2，2]成立．
令h（x）=x³-2x²-4x，h′（x）=3x²-4x-4，h′（x）=0可得x=2或x=-

2

3

，
由h（-2）=-8，h（2）=-8，h（-

2

3

）=

40

27

，即有h（x）的最大值為

40

27

．
則有-1-m≤

40

27

，
解得m≥-

67

27

．
（2）?x₂，x₃∈[-2，2]，使得f（x₂）＞g（x₃）成立，
即為在x∈[-2，2]，f（x）_max＞g（x）_min．
由函數f（x）=x²-x-1=（x-

1

2

）²-

5

4

，當x=

1

2

時，f（x）取得最小值-

5

4

，
當x=-2時，f（x）取得最大值5，
g（x）=x³-x²-5x+m，g′（x）=3x²-2x-5，g′（x）=0可得x=-1或

5

3

．
g（-2）=m-2，g（2）=m-6，g（-1）=m+3，g（

5

3

）=m-

175

27

．
則有g（x）的最小值為m-

175

27

．
即有5＞m-

175

27

，
解得m＜

310

27

．

點評：本題考查存在性問題轉化為求函數的最值問題，主要考查導數的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．