Question

已知橢圓C與雙曲線x²-

y2

3

=1的焦點相同，且與直線y=x+4有公共點，則橢圓C的長軸長的最小值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知條件即可設出橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，而根據橢圓C和直線y=x+4有公共點即可得到方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1有解，所以判別式△=a⁴-14a²+40≥0，再根據a＞2，所以解該不等式即得到a²≥10，所以a的最小值為

10

，所以便可得到橢圓C的長軸長的最小值．

解答： 解：根據已知條件得到c=2，橢圓C的方程設為：

x2

a2

+

y2

a2-4

=1；
橢圓C與直線y=x+4有公共點；
∴方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1有解；
方程變成(

1

a2

+

1

a2-4

)x2+

8

a2-4

x+

16

a2-4

-1=0；
∴△=a⁴-14a²+40≥0；
解得a²≥10，或a²≤4；
∵a＞2；
∴a²≥10；
∴橢圓C的長軸的最小值為2

10

．
故答案為：2

10

．

點評：考查雙曲線、橢圓的標準方程，橢圓的焦點及長軸的概念，橢圓與直線有公共點時對應的方程的關系，以及一元二次方程有解時判別式△的取值情況，注意長軸的長為2a．