Question

設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數y=f（x）（x₁＜x＜x₂）圖象上的兩端點．O為坐標原點，且點N滿足

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，點M（x，y）在函數y=f（x）的圖象上，且滿足x=λx₁+（1-λ）x₂（λ為實數），則稱|MN|的最大值為函數y=f（x）的“高度”．函數f（x）=x²-2x-1在區間[-1，3]上的“高度”為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：函數的性質及應用,平面向量及應用

分析：根據函數f（x）高度的定義，想法求出點M，N的坐標即可表示出|MN|，求其最大值即可：A（-1，2），B（3，2），x₁=-1，x₂=3，所以便可求出N（3-4λ，2），M（3-4λ，16λ²-16λ+2），所以得到|MN|=16|λ²-λ|，而根據M點在f（x）圖象上可求出0≤λ≤1，這樣根據二次函數的圖象即可求得|λ²-λ|的最大值，從而求出f（x）在區間[-1，3]上的“高度”．

解答： 解：根據已知條件，A（-1，2），B（3，2）；
∴λ

OA

+(1-λ)

OB

=λ（-1，2）+（1-λ）（3，2）=（3-4λ，2）；
∴N（3-4λ，2）；
x_M=-λ+3（1-λ）=3-4λ；
M點在f（x）圖象上；
∴M點的縱坐標為：16λ²-16λ+2，且-1≤3-4λ≤3，即0≤λ≤1；
∴M（3-4λ，16λ²-16λ+2）；
∴|MN|=16|λ²-λ|；
∴λ=

1

2

時|λ²-λ|取到最大值

1

4

，從而|MN|取最大值4；
∴f（x）在[-1，3]上的高度為4．
故答案為：4．

點評：考查對函數“高度”定義的理解，向量的坐標和點的坐標的關系，以及根據二次函數的圖象求最值，并且弄清函數|λ²-λ|和二次函數λ²-λ圖象的關系．