Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分別是PA，PB的中點，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=

2

，CD=1．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）證明：MC⊥BD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明：取AD中點E，連結ME，NE，由已知M，N分別是PA，BC的中點，得到ME∥PD，NE∥CD，利用面面平行的判定定理得到所證；
（Ⅱ）因為PD⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質定理得PD⊥DA，PD⊥DC，建立空間直角坐標系，分別寫出D，A，B，C，P的坐標，判斷向量

MC

，

BD

的位置關系．

解答： （Ⅰ）證明：取AD中點E，連結ME，NE，…（2分）
由已知M，N分別是PA，BC的中點，
所以ME∥PD，NE∥CD，…（4分）
所以，平面MNE∥平面PCD，…（7分）
所以，MN∥平面PCD．…（8分）
（Ⅱ）證明：因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如圖，建立空間直角坐標系，…（9分）
則D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

，1，0），C（0，1，0），P（0，0，

2

）．…（10分）
所以M（

2

2

，0，

2

2

），

BD

=（-

2

，-1，0），

MC

=(-

2

2

，1，-

2

2

)，…（11分）
因為

MC

•

BD

=0，所以MC⊥BD．…（13分）

點評：本題考查了面面平行的性質定理和判定定理以及利用空間向量證明線線垂直，體現了向量的工具性．