Question

已知（

x

+

x

2

）ⁿ的展開式中，前三項系數成等差數列，求展開式中含有

x

的項的二項式系數及項的系數．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：由題意，求出二項式的指數n，然后寫出通項，整理后，從xd的指數，按照要求解答．

解答： 解：（

x

+

x

2

）ⁿ的展開式中，前三項系數成等差數列，即1，

C

1 n

×

1

2

，

C

2 n

×

1

4

成等差數列，所以n=1+

n(n-1)

8

，解得n=1（舍去）或者n=8；
所以二項式為（

x

+

x

2

）⁸，展開式的通項為：Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

x

2

)r=(

1

2

)r

C

r 8

x4+

r

2

，r∈（0，8）且r∈Z，令r=1，3，5，7，展開式中含有

x

的項，對應的二項式系數：

C

1 8

=8，

C

3 8

=56，

C

5 8

=56，

C

7 8

=8；
項的系數為：

1

2

×8=4，

1

8

×56=7，

1

32

×56=

7

4

，

1

128

×8=

1

16

．

點評：本題考查了二項式定理的展開式中二項式系數以及項的系數，關鍵是明確展開式通項．