Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且C上任意一點到兩個焦點的距離之和都為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 如圖，設A是橢圓長軸一個頂點，直線l與橢圓交于P、Q（不同于A），若∠PAQ=90°，求證直線l恒過x軸上的一個定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）由題意可得：

c

a

=

3

2

，2a=4，b²=a²-c²即可得出；
（II）設直線AP的方程為l₁：y=k（x-2），P（x₁，y₁）與橢圓的方程聯立可得P，同理可得Q，設直線PQ交x軸于點M（m，0），利用

MP

∥

MQ

，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）2a=4，a=2，

c

a

=

3

2

，c=

3

，b=

a2-c2

=1，
∴橢圓的方程是

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設直線AP的方程為l₁：y=k（x-2），P（x₁，y₁）
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-2)

得，（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0．
則2•x1=

16k2-4

1+4k2

，
∴x1=

8k2-2

1+4k2

，y1=k(x1-2)=-

4k

4k2+1

，
∵∠PAQ=90°，設Q（x₂，y₂）
以-

1

k

代換x₁，y₁表達式中的k，得x2=

8-2k2

4+k2

，y2=

4k

4+k2

，
設直線PQ交x軸于點M（m，0），

MP

∥

MQ

，

MP

=(

8k2-2

4k2+1

-m，-

4k

4k2+1

)，

MQ

=(

8-2k2

4+k2

-m，

4k

4+k2

)，
∴(

8k2-2

4k2+1

-m)•

4k

4+k2

-(

8-2k2

4+k2

-m)•(-

4k

4k2+1

)=0，
5m（1+k²）=6（1+k²）則m=

6

5

，
∴直線EF過定點(

6

5

，0)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得交點、相互垂直的直線斜率之間的關系、共線向量定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．