Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面，底面△ABC中AC=3，AB=5，BC=4，點D是AB的中點，求證：（1）AC⊥BC₁；
（2）AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：運用線面垂直的判定定理和性質定理以及線面平行的判定定理，進行分別證明．

解答： 證明：（1）在△ABC中，由AC=3，AB=5，BC=4，
∴3²+4²=5²，
∴△ABC為直角三角形，
∴AC⊥BC，
又∵CC₁⊥面ABC，
∴CC₁⊥AC，CC₁∩BC=C，
∴AC⊥面BCC₁，
∴AC⊥BC₁；
（2）連結B₁C交BC₁于點E，
則E為BC₁的中點，連結DE，
則在△ABC₁中，DE∥AC₁，
又DE?面CDB₁，AC₁?面B₁CD則AC₁∥面B₁CD．

點評：本題考查了線面垂直的判定定理和性質定理的運用以及線面平行的判定定理的運用．