Question

20．如圖，兩個橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1內部重疊區域的邊界記為曲線C，P是曲線C上任意一點，給出下列三個判斷：
①P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）、E₁（0，-4）、E₂（0，4）四點的距離之和為定值；
②曲線C關于直線y=x、y=-x均對稱；
③曲線C所圍區域面積必小于36．
上述判斷中正確命題的個數為（　　）

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 ①，若點P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）兩點的距離之和為定值、到E₁（0，-4）、E₂（0，4）兩點的距離之和不為定值；
②，兩個橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1關于直線y=x、y=-x均對稱，曲線C關于直線y=x、y=-x均對稱；
③，曲線C所圍區域在邊長為6的正方形內部．

解答 解：對于①，若點P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）兩點的距離之和為定值、到E₁（0，-4）、E₂（0，4）兩點的距離之和不為定值，故錯；
對于②，兩個橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1關于直線y=x、y=-x均對稱，曲線C關于直線y=x、y=-x均對稱，故正確；
對于③，曲線C所圍區域在邊長為6的正方形內部，所以面積必小于36，故正確．
故選：C

點評 本題考查了橢圓的定義及對稱性，屬于基礎題．