Question

5．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x≤1}\\{{x}^{2}-3ax+4a，x＞1}\end{array}\right.$有三個不同零點，則a的范圍是（　　）

• A． $（{\frac{16}{9}，2}）$
• B． $（{\frac{16}{9}，+∞}）∪（{-∞，0}）$
• C． $（{\frac{16}{9}，2}]$
• D． $（{\frac{2}{3}，2}]$

Answer 1

分析 由題意可得需使指數函數部分與x軸有一個交點，拋物線部分與x軸有兩個交點，由函數圖象的平移和二次函數的頂點可得關于a的不等式，解之可得答案．

解答 解：由題意可知：函數圖象的x≤1的部分為單調遞增指數函數的部分，
函數圖象的x＞1部分為開口向上的拋物線，對稱軸為x=$\frac{3a}{2}$，最多兩個零點，
如上圖，要滿足題意，必須指數函數的部分向下平移到與x軸相交，
由指數函數x=1時過點（1，2），故需下移至多2個單位，故0＜a≤2，
還需保證拋物線與x軸由兩個交點，故最低點$\frac{16a-9{a}^{2}}{4}$＜0，
f（1）=1+a＞0，$\frac{3a}{2}＞1$，
解得$\frac{16}{9}$＜a≤2，
故選：C．

點評 本題考查根的存在性及根的個數的判斷，函數與方程的綜合應用，數形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．