Question

16．若雙曲線的一條漸近線為x+2y=0，且雙曲線與拋物線y=x²的準線僅有一個公共點，則此雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．

Answer 1

分析 求出拋物線的準線方程，得到雙曲線的實半軸的長，利用雙曲線的漸近線方程，求解即可．

解答 解：拋物線y=x²的準線：y=-$\frac{1}{4}$，
雙曲線與拋物線y=x²的準線僅有一個公共點，可得雙曲線實半軸長為a=$\frac{1}{4}$，焦點在y軸上．
雙曲線的一條漸近線為x+2y=0，∴$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，
可得b=$\frac{1}{2}$，
則此雙曲線的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{16}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．

點評 本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．