Question

10．已知數列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足${S_n}=\frac{1}{2}（1-{a_n}）$．
（1）求數列{a_n}的通項公式并證明${S_n}＜\frac{1}{2}$；
（2）設函數$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}x$，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}$．求T_n．

Answer 1

分析 （1）由當n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n-1），a_n=S_n-S_n-1，整理得：2a_n=-a_n+a_n-1，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$，當n=1時，${a_1}=\frac{1}{3}$，數列{a_n}是首項${a_1}=\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數列，即可求得${a_n}=\frac{1}{3}×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}={（\frac{1}{3}）^n}$，由等比數列前n項和公式可知：${S_n}=\frac{{\frac{1}{3}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]$，由$1-{（\frac{1}{3}）^n}＜1$，則$\frac{1}{2}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]＜\frac{1}{2}$，即可證明${S_n}＜\frac{1}{2}$；
（2）${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_1}+{log_{\frac{1}{3}}}{a_2}+…+{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}（{a_1}{a_2}…{a_n}）$=${log_{\frac{1}{3}}}{（\frac{1}{3}）^{1+2+…+n}}$=$1+2+…+n=\frac{n（1+n）}{2}$，則$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（1+n）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，采用“裂項法”即可求得T_n．

解答 解：（1）當n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n-1），a_n=S_n-S_n-1，
∴${a_n}=\frac{1}{2}（1-{a_n}）-\frac{1}{2}（1-{a_{n-1}}）$=$-\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，整理得：2a_n=-a_n+a_n-1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$，
當n=1時，
${S_1}={a_1}=\frac{1}{2}（1-{a_1}）$，解得：${a_1}=\frac{1}{3}$，
∴數列{a_n}是首項${a_1}=\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數列，
∴${a_n}=\frac{1}{3}×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}={（\frac{1}{3}）^n}$，
證明：由等比數列前n項公式可知：${S_n}=\frac{{\frac{1}{3}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]$，
∵$1-{（\frac{1}{3}）^n}＜1$，
∴$\frac{1}{2}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]＜\frac{1}{2}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{2}$．
（2）∵$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}x$，
∴${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_1}+{log_{\frac{1}{3}}}{a_2}+…+{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}（{a_1}{a_2}…{a_n}）$=${log_{\frac{1}{3}}}{（\frac{1}{3}）^{1+2+…+n}}$，
=$1+2+…+n=\frac{n（1+n）}{2}$．
∵$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（1+n）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=2[{（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）}]=\frac{2n}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查等比數列前n項和公式的應用，求等差數數列的前n項和，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．