Question

19．已知函數f（x）=-x²+ax+b的值域為（-∞，0]，若關x的不等式$f（x）＞-\frac{c}{4}-1$的解集為（m-4，m+1），則實數c的值為21．

Answer 1

分析 根據題意，△=a²+4b=0；m-4與m+1為方程x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1=0的兩根；函數y=x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$=$\frac{m+1-（m-4）}{2}$=$\frac{5}{2}$；可求出a，m的值，再求c．

解答 解：由題意，函數f（x）=-x²+ax+b的值域為（-∞，0]，
∴△=a²+4b=0  ①；
由不等式$f（x）＞-\frac{c}{4}-1$ 化簡：x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1＜0
m-4與m+1為方程x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1=0的兩根；
m-4+m+1=a  ②；
（m-4）（m+1）=-b-$\frac{c}{4}$-1  ③；
函數y=x²-ax-b-$\frac{c}{4}$-1的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$=$\frac{m+1-（m-4）}{2}$=$\frac{5}{2}$；
所以 a=5；
由①②知：m=4，b=-$\frac{25}{4}$；
由③知：c=21
故答案為：21

點評 本題主要考查了不等式方程組解與二次函數根的關系，以及二次函數的圖形特征，屬中等題．