Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1的左右焦點分別為F₁，F₂，若雙曲線上一點P   滿足∠F₁PF₂=90°，求${S_{△{F_1}P{F_2}}}$=16．

Answer 1

分析 先利用雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=±2a=±6，將此式兩邊平方，再結合勾股定理能求出|PF₁|•|PF₂|的值，由此能求出△F₁PF₂的面積．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1，
∴a=3，b=4，c=$\sqrt{16+9}$=5．
由雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=±2a=±6，
將此式兩邊平方，得|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=36，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=36+2|PF₁|•|PF₂|．
又∵∠F₁PF₂=90°，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100，
=36+2|PF₁|•|PF₂|，
∴|PF₁|•|PF₂|=32，
∴${S_{△{F_1}P{F_2}}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×32=16；
故答案為：16．

點評 本題考查三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意雙曲線定義、勾股定理的靈活運用，是中檔題．