Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a進(jìn)行討論，判斷f′（x）的符號(hào)得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)-$\frac{1}{a}$和區(qū)間[1，2]的關(guān)系進(jìn)行討論，判斷f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，從而計(jì)算出f（x）的最小值．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
若a≥0時(shí)，f′（x）＞0，
若a＜0，令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{a}$．
∴當(dāng)0＜x＜-$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x$＞-\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）由（1）可知f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．
①當(dāng)2≤-$\frac{1}{a}$即-$\frac{1}{2}$≤a＜0時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=a；
②當(dāng)-$\frac{1}{a}$≤1即a≤-1時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f_min（x）=f（2）=ln2+2a；
③當(dāng)1＜-$\frac{1}{a}$＜2即-1＜a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[1，-$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞增，在[-$\frac{1}{a}$，2]上單調(diào)遞減，
若f（1）≤f（2），即a≤ln2+2a，解得a≥-ln2
若f（1）＞f（2），即a＞ln2+2a，解得a＜-ln2．
∴當(dāng)-ln2≤a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，f_min（x）=f（1）=a，
當(dāng)-1＜a＜-ln2時(shí)，f_min（x）=f（2）=ln2+2a．
綜上：當(dāng)-ln2≤a＜0時(shí)，f_min（x）=a，
當(dāng)a＜-ln2時(shí)，f_min（x）=ln2+2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．