Question

5．已知函數$f（x）=\sqrt{2}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}{sin^2}\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區間[-π，0]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性得出結論．
（2）利用正弦函數的單調性求得f（x）在區間[-π，0]上的值域．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{2}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}{sin^2}\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}•\frac{1}{2}sinx-\sqrt{2}•\frac{1-cosx}{2}$=$sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為 $\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵x∈[-π，0]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，∴sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0]，
故f（x）的值域為$[{-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0}]$．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的周期性和單調性，屬于中檔題．