Question

10．.已知O是坐標原點，點A（1，0），若點M（x，y）為平面區域$\left\{\begin{array}{l}x+y≥2\\ x≤1\\ y≤2\end{array}\right.$上的一個動點，則$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}}|$的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 1
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知點的坐標求得目標函數$z=\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，由約束條件作出可行域，再由目標函數的幾何意義，即可行域內的動點與定點P（-1，0）的距離求解．

解答 解：∵A（1，0），M（x，y），
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}=（1+x，y）$，則z=$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}}|$=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$．
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥2\\ x≤1\\ y≤2\end{array}\right.$作出可行域如圖，

$z=\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義為可行域內的動點與定點P（-1，0）的距離．
由圖可知，${z}_{max}=|PB|=\sqrt{（1+1）^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．