Question

18．已知不等式|x²-3x-4|＜2x+2的解集為{x|a＜x＜b}．
（1）求a、b的值；
（2）若m，n∈（-1，1），且mn=$\frac{a}{b}$，S=$\frac{a}{{m}^{2}-1}$+$\frac{b}{3（{n}^{2}-1）}$，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)不等式的右邊分解因式，可得x+1＞0，且|x-4|＜2，由絕對(duì)值不等式的解法，可得a，b的值；
（2）可得mn=$\frac{1}{3}$，運(yùn)用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a=b取得等號(hào)），以及a²+b²≥2ab（a=b取得等號(hào)），可得S的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閨x²-3x-4|＜2x+2
?|（x+1）（x-4）|＜2（x+1）
?$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{|x-4|＜2}\end{array}\right.$?2＜x＜6，
所以a=2，b=6．
（2）因?yàn)閍=2，b=6，
所以mn=$\frac{1}{3}$，S=$\frac{2}{{m}^{2}-1}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$，
由m，n∈（-1，1），可得1-m²＞0，1-n²＞0，
S=-2（ $\frac{1}{1{-m}^{2}}$+$\frac{1}{1{-n}^{2}}$）≤-4$\sqrt{\frac{1}{（1{-m}^{2}）（1{-n}^{2}）}}$=-4$\sqrt{\frac{1}{\frac{10}{9}-{（m}^{2}{+n}^{2}）}}$
≤-4$\sqrt{\frac{1}{\frac{10}{9}-\frac{2}{3}}}$=-6，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號(hào)，所以S_max=-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和絕對(duì)值的性質(zhì)，考查最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．