Question

3．若函數f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1在區間（$\frac{1}{2}$，3）上單調遞減，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{5}{2}$，$\frac{10}{3}$）
• B． （$\frac{10}{3}$，+∞）
• C． [$\frac{10}{3}$，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 求出函數f（x）的導數，問題轉化為a≥x+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，3）恒成立，令g（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（$\frac{1}{2}$，3），根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1，
∴f′（x）=x²-ax+1，
若函數f（x）在區間（$\frac{1}{2}$，3）上遞減，
故x²-ax+1≤0在（$\frac{1}{2}$，3）恒成立，
即a≥x+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，3）恒成立，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（$\frac{1}{2}$，3），
g′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，3）遞增，
而g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，g（3）=$\frac{10}{3}$，
故a≥$\frac{10}{3}$
故選：C．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查恒成立問題的求解方法，是中檔題．