Question

7．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足x²f'（x）+xf（x）=lnx，f（e）=$\frac{1}{e}$，則f（x）（　　）

• A． 有極大值，無極小值
• B． 有極小值，無極大值
• C． 既有極大值又有極小值
• D． 既無極大值也無極小值

Answer 1

分析 由題意知[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，從而由積分可知xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，從而解得f（x）的解析式，從而再求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷函數(shù)的極值．

解答 解：∵x²f′（x）+xf（x）=lnx，
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
∴xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，
又∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴e•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2}$+c，
故c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=$\frac{2lnx×\frac{1}{x}×x-（l{n}^{2}x+1）}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（lnx-1）^{2}}{2{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴既無極大值又無極小值．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及積分的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．