Question

19．已知a＞b＞c且$\frac{2}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{m}{a-c}$恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

分析 設a-b=p，b-c=q，則a-c=p+q，那么不等式轉化為$\frac{2}{p}+\frac{1}{q}≥\frac{m}{q+p}$，根據不等式的性質即可得解．

解答 解：法一：由題意，a＞b＞c，a-b=p＞0，b-c=q＞0，則a-c=p+q＞0，那么不等式轉化為$\frac{2}{p}+\frac{1}{q}≥\frac{m}{q+p}$，
$\frac{2}{p}+\frac{1}{q}≥\frac{m}{q+p}$不等式轉化為$\frac{2{q}^{\;}+p}{qp}≥\frac{m}{q+p}$，
可得：$\frac{2{q}^{2}+3pq+{p}^{2}}{pq}≥m$
即$\frac{2q}{p}+\frac{p}{q}+3$$≥3+2\sqrt{\frac{2q}{p}×\frac{p}{q}}=3+2\sqrt{2}$．（當且僅當$\sqrt{2}$q=p時取等號）
∴實數m的最大值為$3+2\sqrt{2}$．
法二：由題意，a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0，
∴$\frac{2}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{m}{a-c}$轉化為：$\frac{2（a-c）}{a-b}+\frac{a-c}{b-c}≥m$．
可得：$\frac{2（a-b+b-c）}{a-b}+\frac{a-b+b-c}{b-c}≥m$．
分離：$2+\frac{2（b-c）}{a-b}+1+\frac{a-b}{b-c}≥$3+2$\sqrt{2}$．（當且僅當（a-b）=$\sqrt{2}$（b-c）時取等號）
∴實數m的最大值為3$+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了構造思想和基本不等式的性質，屬于基礎題．