Question

11．2016年備受矚目的二十國集團領導人第十一次峰會于9月4～5日在杭州舉辦，杭州G20籌委會已經招募培訓翻譯聯絡員1000人、駕駛員2000人，為測試培訓效果，采取分層抽樣的方法從翻譯聯絡員、駕駛員中共隨機抽取60人，對其做G20峰會主題及相關服務職責進行測試，將其所得分數（分數都在60～100之間）制成頻率分布直方圖如下圖所示，若得分在90分及其以上（含90分）者，則稱其為“G20通”．

（Ⅰ）能否有90%的把握認為“G20通”與所從事工作（翻譯聯絡員或駕駛員）有關？
（Ⅱ）從參加測試的成績在80分以上（含80分）的駕駛員中隨機抽取4人，4人中“G20通”的人數為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

附參考公式與數據：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：翻譯聯絡員得分在90分及其以上（含90分）者有0.02×10×1000=200人，得分在90分及其以下者有1000-200=800人．駕駛員得分在90分及其以上（含90分）者有0.005×10×2000=100人，得分在90分及其以下者有2000-200=1900人．抽取翻譯聯絡員=$\frac{1000}{3000}×60$=20人，得分在90分及其以上（含90分）者有4人，得分在90分及其以下者有16人，抽取駕駛員$\frac{2000}{3000}$×60=40人，得分在90分及其以上（含90分）者有2人，得分在90分及其以下者有38人．作出列聯表：由列聯表中的數據，得到k²=$\frac{60×（4×38-2×16）^{2}}{6×54×20×40}$=3.333，即可得出結論．
（Ⅱ）由圖可知：參加測試的成績在80分以上（含80分）的駕駛員中共有10人，其中在區間[80，90）的有8人，在區間[90，100]的有2人．隨機抽取4人，4人中“G20通”的人數為隨機變量X=0，1，2．P（X=k）=$\frac{{∁}_{8}^{4-k}{∁}_{2}^{k}}{{∁}_{10}^{4}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：翻譯聯絡員得分在90分及其以上（含90分）者有0.02×10×1000=200人，
得分在90分及其以下者有1000-200=800人．
駕駛員得分在90分及其以上（含90分）者有0.005×10×2000=100人，得分在90分及其以下者有2000-200=1900人．
抽取翻譯聯絡員=$\frac{1000}{3000}×60$=20人，得分在90分及其以上（含90分）者有4人，得分在90分及其以下者有16人，
抽取駕駛員$\frac{2000}{3000}$×60=40人，得分在90分及其以上（含90分）者有2人，得分在90分及其以下者有38人．
做出列聯表：

	90（含90）分以上	90分以下	合計
翻譯聯絡員	4	16	20
駕駛員	2	38	40
合計	6	54	60

由列聯表中的數據，得到k²=$\frac{60×（4×38-2×16）^{2}}{6×54×20×40}$=3.333＞2.706．
因此，有90%的把握認為兩者有關．
（Ⅱ）由圖可知：參加測試的成績在80分以上（含80分）的駕駛員中共有10人，其中在區間[80，90）的有8人，在區間[90，100]的有2人．
隨機抽取4人，4人中“G20通”的人數為隨機變量X=0，1，2．
P（X=k）=$\frac{{∁}_{8}^{4-k}{∁}_{2}^{k}}{{∁}_{10}^{4}}$，可得P（X=0）=$\frac{1}{3}$，P（X=1）=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{2}{15}$．

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

EX=0+$1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{15}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了頻率與概率的關系、獨立性檢驗原理、隨機變量的分布列與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．