Question

6．若a＞0，b＞0，則稱$\frac{2ab}{a+b}$為a，b的調和平均數．如圖，點C為線段AB上的點，且AC=a，BC=b，點O為線段AB中點，以AB為直徑做半圓，過點C作AB的垂線交半圓于D，連結OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E，則圖中線段OD的長度是a，b的算術平均數，那么圖中表示a，b的幾何平均數與調和平均數的線段，以及由此得到的不等關系分別是（　　）

• A． $CD，CE，\frac{2ab}{a+b}≥\sqrt{ab}$
• B． $CD，DE，\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$
• C． $CD，CE，\frac{2ab}{a+b}≥\sqrt{ab}$
• D． $CD，CE，\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$

Answer 1

分析 利用相似三角形計算圖象各線段的長，利用定義得出各線段的意義，利用直角邊小于斜邊得出大小關系．

解答 解：由Rt△ACD∽△RtDCB得：$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{CB}$，即$\frac{a}{CD}=\frac{CD}{b}$，
∴CD=$\sqrt{ab}$，即線段CD表示a，b的幾何平均數；
∵OC=AC-OA=a-$\frac{a+b}{2}$=$\frac{a-b}{2}$，
∵sin∠OCE=sin∠ODC=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{a+b}{2}}$=$\frac{a-b}{a+b}$，
∴OE=OC•sin∠OCE=$\frac{（a-b）^{2}}{2（a+b）}$，
∴DE=OD-OE=$\frac{a+b}{2}$-$\frac{（a-b）^{2}}{2（a+b）}$=$\frac{2ab}{a+b}$，∴線段DE表示a，b的調和平均數；
當a≠b時，由三角形的性質可知DE＜CD，即$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$，
當a=b時，OD與CD重合，此時E，O，C三點重合，故DE=CD，即$\frac{2ab}{a+b}=\sqrt{ab}$，
故選B．

點評 本題考查了圓的性質，平均數的幾何意義，屬于中檔題．