Question

17．已知函數f_t（x）=（x-t）²-t，t∈R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{m}（x），{f}_{m}（x）＜{f}_{n}（x）}\\{{f}_{n}（x），{f}_{m}（x）≥{f}_{n}（x）}\end{array}\right.$（m＜n），若函數y=f（x）+x+m-n有四個零點，則m-n的取值范圍是（-∞，-2-$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 解方程f_m（x）=f_n（x）得交點P（$\frac{m+n-1}{2}$，$（\frac{n-m-1}{2}）^{2}-m$），函數f（x）的圖象與直線l：y=-x+n-m有四個不同的交點，由圖象知，點P在l的上方，故$\frac{m+n-1}{2}+（\frac{n-m-1}{2}）^{2}-m-（n-m）$＞0，由此解得m-n的取值范圍．

解答 解：作函數f（x）的圖象，解方程f_m（x）=f_n（x），
得x=$\frac{m+n-1}{2}$，即交點P（$\frac{m+n-1}{2}$，$（\frac{n-m-1}{2}）^{2}-m$），
又函數y=f（x）+x+m-n有四個零點，
即函數f（x）的圖象與直線l：y=-x+n-m有四個不同的交點．
由圖象知，點P在l的上方，
∴$\frac{m+n-1}{2}+（\frac{n-m-1}{2}）^{2}-m-（n-m）$＞0，
即（n-m）²-4（n-m）-1＞0，
解得：n-m$＜2-\sqrt{5}$或n-m$＞2+\sqrt{5}$．
∵m＜n，∴n-m＞$2+\sqrt{5}$，
即m-n＜-（$2+\sqrt{5}$）．
故答案為：（-∞，-2-$\sqrt{5}$）．

點評 本題主要考查根的存在性以及根的個數判斷，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．