Question

7．已知函數f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x．
（ I）求f（x）的最小正周期；
（ II）求f（x）在區間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值及相應的x值．

Answer 1

分析 （ I）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數的周期性求得f（x）的最小正周期．
（ II）利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）在區間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值及相應的x值．

解答 解：（ I）∵$f（x）={（sinx+cosx）^2}+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的最小正周期是π．
（ II）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，又 f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴當$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{8}$時，$f{（x）_{max}}=1+\sqrt{2}$；
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，即x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值為1+$\sqrt{2}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1-1=0．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．