Question

17．已知函數φ（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）討論φ（x）的單調性；
（2）設f（x）=φ（x）-$\frac{1}{2}$x³，當x＞0時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）問題轉化為a＞$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²對x∈（0，+∞）恒成立，設g（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²（x＞0），求出函數的導數，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）φ′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，（x＞0），
a≤0時，φ′（x）＞0恒成立，
則φ（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時，令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
則φ（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，
令φ′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
則φ（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
（2）x＞0時，f（x）＜0恒成立，則lnx-ax-$\frac{1}{2}$x³＜0，
即a＞$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²對x∈（0，+∞）恒成立，
設g（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²（x＞0），
g′（x）=$\frac{1-lnx{-x}^{3}}{{x}^{2}}$，
設h（x）=1-lnx-x³（x＞0），
h′（x）=-$\frac{1}{x}$-3x²＜0，
故h（x）在（0，+∞）遞減，
又h（1）=0，則0＜x＜1時，h（x）＞0，g′（x）＞0，
x＞1時，h（x）＜0，g′（x）＜0，
故g（x）_max=g（1）=-$\frac{1}{2}$，
故a＞-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．