Question

6．△PF₁F₂的一個頂點P（7，12）在雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，另外兩頂點F₁、F₂為該雙曲線的左、右焦點，則△PF₁F₂的內心坐標為（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 通過已知條件求出b，充分利用平面幾何圖形的性質解題．因從同一點出發的切線長相等，得PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，再結合雙曲線的定義得|F₁D|-|F₂D|=2a，從而即可求得△PF₁F₂的內心的橫坐標．

解答 解：P（7，12）在雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，
所以49-$\frac{144}{{b}^{2}}$=1，b²=3，
雙曲線方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
記△PF₁F₂的內切圓圓心為C，邊PF₁、PF₂、F₁F₂上的切點分別為M、N、D，易見C、D橫坐標相等，
|PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，由|PF₁|-|PF₂|=2，
即：|PM|+|MF₁|-（|PN|+|NF₂|）=2，得|MF₁|-|NF₂|=2即|F₁D|-|F₂D|=2，
記C的橫坐標為x₀，則D（x₀，0），
于是：x₀+c-（c-x₀）=2，
得x₀=1，
|PF₁|=$\sqrt{（{7+2）}^{2}+（{12-0）}^{2}}$=15，|PF₂|=$\sqrt{（7-2）^{2}+（12-0）^{2}}$=13，
設縱坐標為r，則：$\frac{1}{2}×4×12$=$\frac{1}{2}×$（4+13+15）•r，解得r=$\frac{3}{2}$．
故答案為：（1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了雙曲線的定義、雙曲線的應用及轉化問題的能力，屬于中檔題．