Question

14．用數學歸納方法證明：2²+4²+6²+…+（2n）²=$\frac{2}{3}$n（n+1）（2n+1）（n∈N*）．

Answer 1

分析 用數學歸納法證明：（1）當n=1時，去證明等式成立；（2）假設當n=k時，等式成立，用上歸納假設后，去證明當n=k+1時，等式也成立即可．

解答 證明：①n=1時，左邊=4，右邊=4，等式成立；
②假設n=k時等式成立，即2²+4²+6²+…+（2k）²=$\frac{2}{3}$k（k+1）（2k+1）
那么，當n=k+1時，2²+4²+6²+…+（2k）²+[2（k+1）]²，
=$\frac{2}{3}$k（k+1）（2k+1）+[2（k+1）]²，
=$\frac{2}{3}$（k+1）（2k²+k+6k+6），
=$\frac{2}{3}$（k+1）（k+2）（2k+3），
=$\frac{2}{3}$（k+1）[（k+1）+1][2（k+1）+1]，
等式成立．
由①②可知，等式對任何正整數n都成立．

點評 本題考查數學歸納法，掌握數學歸納法的證題步驟與思路，用好歸納假設是關鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．