Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（$\sqrt{2}$，1），且焦距為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=k（x+1）與橢圓C相交于不同的兩點A、B，定點P的坐標為（$\frac{1}{4}$，0），證明：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$是常數．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率公式求得a²=b²+2，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$是常數．

解答 解：（1）由題意可知：2c=2$\sqrt{2}$，則c=$\sqrt{2}$，則a²=b²+2，
將（$\sqrt{2}$，1），代入橢圓方程可得：$\frac{2}{^{2}+2}+\frac{1}{^{2}}=1$，解得：b²=2，則a²=4，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）證明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
由$\overrightarrow{PA}$=（x₁-$\frac{1}{4}$，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-$\frac{1}{4}$，y₂），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$=（x₁-$\frac{1}{4}$）（x₂-$\frac{1}{4}$）+y₁y₂+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$，
=（x₁-$\frac{1}{4}$）（x₂-$\frac{1}{4}$）+k²（x₁+1）（x₁+1）+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$，
=（1+k²）x₁x₂+（k²-$\frac{1}{4}$）（x₁+x₂）+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$+k²+$\frac{1}{16}$，
=（1+k²）×$\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$+（k²-$\frac{1}{4}$）（-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$+k²+$\frac{1}{16}$，
=$\frac{1}{16}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$是常數．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．