Question

7．已知函數f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在區間[0，1]上有零點，則ab的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 對判別式△和在區間[0，1]上的零點個數進行討論得出ab的最值．

解答 解：∵函數f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在區間[0，1]上有零點，
∴△=a²-4b≥0，
（1）若△=0，即b=$\frac{{a}^{2}}{4}$時，f（x）的零點為x=-$\frac{a}{2}$，
∴0≤-$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤0，
∴ab=$\frac{{a}^{3}}{4}$，
∴當a=0時，ab取得最大值0；
（2）若△＞0，即b＜$\frac{{a}^{2}}{4}$，
①若函數f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在區間[0，1]上有一個零點，則f（0）•f（1）≤0，
∴b（1+a+b）≤0，
即b+b²+ab≤0，
∴ab≤-b²-b=-（b+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴ab的最大值是$\frac{1}{4}$；
②若函數f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在區間[0，1]上有兩個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4b＞0}\\{f（0）=b≥0}\\{f（1）=1+a+b≥0}\\{0≤-\frac{a}{2}≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞4b}\\{b≥0}\\{a+b≥-1}\\{-2≤a≤0}\end{array}\right.$
顯然ab≤0，
綜上，ab的最大值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了二次函數的性質，分類討論思想，屬于中檔題．