Question

12．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值為12，則$\frac{2b+3a}{ab}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{11}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由約束條件作差可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數可得2a+3b=6，然后利用基本不等式求$\frac{2b+3a}{ab}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作差可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（4，6），
化目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）為y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由圖可知，當直線y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為4a+6b=12．
則2a+3b=6．
∴$\frac{2b+3a}{ab}$=$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$）（$\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$）=$\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$$≥\frac{13}{6}$+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=$\frac{13}{6}+\frac{12}{6}=\frac{25}{6}$．
當且僅當a=b時上式等號成立．
∴$\frac{2b+3a}{ab}$的最小值為$\frac{25}{6}$．
故選：A．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．