Question

8．如下圖（1）所示，已知正方形AMCD的邊長為2，延長AM，使得M為AB中點，連結AC．現將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖（2）所示．
（1）求證：BC⊥平面ACD；    （2）求幾何體D-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知求出AC，BC的長，利用勾股定理可得AC⊥BC，再由面面垂直的性質可得BC⊥平面ACD；  
（2）由（1）知BC⊥平面ACD，然后利用等積法即可求得幾何體D-ABC的體積．

解答 證明：（1）由圖（1）可知，$AC=BC=2\sqrt{2}$，AB=4，
∴AC²+BC²=AB²，則AC⊥BC，
又∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACD；
解：（2）由（1）可知，BC⊥平面ACD，則BC即為幾何體B-ACD的高，
∴${V_{D-ABC}}={V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•BC=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×2\sqrt{2}=\frac{4}{3}\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．