Question

18．以BC為底邊的等腰三角形ABC中，AC邊上的中線長為6，當△ABC面積最大時，腰AB長為（　　）

• A． 6$\sqrt{3}$
• B． 6$\sqrt{5}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設D為AC中點，由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{2{b}^{2}}$，在△ABD中，由余弦定理可求2a²+b²=144，利用配方法可得S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-\frac{9}{4}（{a}^{2}-32）^{2}+2304}$，利用二次函數的圖象和性質即可得解當△ABC面積最大時，腰AB長．

解答 解：如下圖所示，設D為AC中點，
由余弦定理，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{2{b}^{2}}$，
在△ABD中，BD²=b²+（$\frac{b}{2}$）²-2×$b×\frac{b}{2}×$$\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{2{b}^{2}}$，
可得：2a²+b²=144，
所以，S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{144-\frac{9{a}^{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}（144-\frac{9{a}^{2}}{4}）}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-\frac{9}{4}（{a}^{2}-32）^{2}+2304}$，
所以，當a²=32時，S有最大值，此時，b²=144-2a²=80，解得：b=4$\sqrt{5}$，即腰長AB=4$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了余弦定理，二次函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了配方法的應用，考查了數形結合思想和轉化思想的應用，屬于中檔題．