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18.以BC為底邊的等腰三角形ABC中,AC邊上的中線長為6,當△ABC面積最大時,腰AB長為(  )
A.6$\sqrt{3}$B.6$\sqrt{5}$C.4$\sqrt{3}$D.4$\sqrt{5}$

分析 設D為AC中點,由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{2{b}^{2}}$,在△ABD中,由余弦定理可求2a2+b2=144,利用配方法可得S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-\frac{9}{4}({a}^{2}-32)^{2}+2304}$,利用二次函數的圖象和性質即可得解當△ABC面積最大時,腰AB長.

解答 解:如下圖所示,設D為AC中點,
由余弦定理,cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{2{b}^{2}}$,
在△ABD中,BD2=b2+($\frac{b}{2}$)2-2×$b×\frac{b}{2}×$$\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{2{b}^{2}}$,
可得:2a2+b2=144,
所以,S=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{{b}^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}$=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{144-\frac{9{a}^{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}(144-\frac{9{a}^{2}}{4})}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-\frac{9}{4}({a}^{2}-32)^{2}+2304}$,
所以,當a2=32時,S有最大值,此時,b2=144-2a2=80,解得:b=4$\sqrt{5}$,即腰長AB=4$\sqrt{5}$.
故選:D.

點評 本題主要考查了余弦定理,二次函數的圖象和性質在解三角形中的應用,考查了配方法的應用,考查了數形結合思想和轉化思想的應用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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