Question

9．如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）請在方框內(nèi)畫出該幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖；
（2）求證：BE∥平面PDA．
（3）求二面角A-PB-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）按照三視圖所在的平面兩兩垂直，看不見的線用虛線，看得見的用實線畫出．
（2）由EC∥PD，得EC∥平面PDA，同時，有BC∥平面PDA，因為EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C，得到平面BEC∥平面PDA，進而有BE∥平面PDA．
（3）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PB-E的余弦值．

解答 解：（1）該組合體的主視圖和側(cè)視圖如圖示：
證明：（2）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA，
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA，
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．
解：（3）∵底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PC，且PD=AD=2EC=2，
∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），
$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PE}$=（0，2，-1），
設(shè)平面APB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)平面PBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=2a+2b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
設(shè)二面角A-PB-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角A-PB-E的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查空間幾何體的三視圖，二面角的余弦值和線線，線面，面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查很全面，靈活，屬中檔題．