Question

觀察等式：
①

1

3

×1³+

1

2

×1²+

1

6

×1=1²，
②

1

3

×2³+

1

2

×2²+

1

6

×2=1²+2²，
③

1

3

×3³+

1

2

×3²+

1

6

×3=1²+2²+3²，…
以上等式都是成立的，照此寫下去，第2015個成立的等式是

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：根據已知中的式子，分析等式兩邊各項的底數變化情況與式子編號之間的關系，歸納出規律后，可得答案．

解答： 解：由已知中的等式：
觀察等式：
①

1

3

×1³+

1

2

×1²+

1

6

×1=1²，
②

1

3

×2³+

1

2

×2²+

1

6

×2=1²+2²，
③

1

3

×3³+

1

2

×3²+

1

6

×3=1²+2²+3²，
…
歸納可得：
第n個成立的等式是：

1

3

×n³+

1

2

×n²+

1

6

×n=1²+2²+3²+4²+…+n²，
當n=2015時，第2015個成立的等式是：

1

3

×2015³+

1

2

×2015²+

1

6

×2015=1²+2²+3²+4²+…+2015²
故答案為：

1

3

×2015³+

1

2

×2015²+

1

6

×2015=1²+2²+3²+4²+…+2015²

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．