Question

8．已知點P位橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$上任意一點，則P到直線l：2x-y=12的距離的最小值為（　　）

• A． $\frac{7}{5}$
• B． $\frac{7}{5}\sqrt{5}$
• C． $\frac{17}{5}$
• D． $\frac{17}{5}\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設出與直線l：2x-y=12平行的直線為2x-y+m=0，聯立直線方程與橢圓方程，由判別式為0求得m，得到與橢圓相切且與直線l：2x-y=12平行的直線方程，再由兩平行線間的距離公式求解．

解答 解：設與直線l：2x-y=12平行的直線為2x-y+m=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{2x-y+m=0}\end{array}\right.$，得25x²+16mx+4m²-36=0．
由△=（16m）²-100（4m²-36）=0，得m=±5．
∴當m=-5時，直線2x-y-5=0與橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的切點到直線l：2x-y=12的距離最小．
最小值為$\frac{|-12+5|}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．