Question

20．給定兩個命題，命題p：對任意實數x都有ax²＞-ax-1恒成立，命題q：關于x的方程x²-x+a=0有實數根．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 因為“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，所以p，q中有且僅有一個為真命題．進而可得實數a的取值范圍．

解答 解：若p為真命題，則a=0或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$．
即0≤a＜4；
若q為真命題，則（-1）²-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$．
因為“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
所以p，q中有且僅有一個為真命題．
若p真q假，則$\frac{1}{4}$＜a＜4；
若p假q真，則a＜0．
綜上，實數a的取值范圍為（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數的恒成立問題，方程根的存在性及個數判斷等知識點，難度中檔．