Question

15．已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中點，將△BAE沿著AE翻折成△B₁AE，使平面B₁AE⊥平面ABCD，F，G分別為B₁D，AE的中點．
（1）證明：B₁E∥平面ACF；
（2）證明：平面B₁GD⊥平面B₁DC．

Answer 1

分析 （1）連接ED交AC于O，連接OF，利用AEDC為菱形，且F為B₁D的中點得到FO∥B₁E，利用線面平行的判定定理可證；
（2）連結GD，則DG⊥AE，又B₁G⊥AE，B₁G∩GD=G，判斷AE⊥平面B₁GD，利用面面垂直的判定定理可證．

解答 證明：（1）連接ED交AC于O，連接OF，
∵AEDC為菱形，且F為B₁D的中點，
∴FO∥B₁E，…（6分）
又B₁E?面ACF，FO?平面ACF，
∴B₁E∥平面ACF   …（8分）
（2）證明：連結GD，則DG⊥AE，又B₁G⊥AE，B₁G∩GD=G，
∴AE⊥平面B₁GD．…（10分）
又AE∥DC，∴DC⊥平面B₁GD，又DC?平面B₁DC
∴平面B₁GD⊥平面B₁DC．…（12分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的判定定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．