Question

4．如圖1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O是邊AB的中點，將三角形AOD饒邊OD所在直線旋轉到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如圖2，設m為平面A₁DC與平面A₁OB的交線．

（1）判斷直線DC與直線m的位置關系并證明；
（2）若在直線m上的點G滿足OG⊥A₁D，求出A₁G的長；
（3）求直線A₁O與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的性質判斷并證明直線DC與直線m的位置關系；
（2）A₁D在平面A₁OB中的射影為A₁O，OG⊥A₁O，即可求出A₁G的長；
（3）求出O到平面A₁DB的距離，即可求直線A₁O與平面A₁BD所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵DC∥OB，DC?平面A₁OB，OB?平面A₁OB
∴DC∥平面A₁OB，
∵m為平面A₁DC與平面A₁OB的交線，
∴DC∥m；
（2）由題意，A₁D在平面A₁OB中的射影為A₁O，
∴OG⊥A₁O，∴A₁G=2A₁O=4；
（3）△A₁OB中，A₁B=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∵A₁D=DB=2$\sqrt{2}$，∴${S}_{△{A}_{1}DB}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{8-3}$=$\sqrt{15}$，
設O到平面A₁DB的距離為h，則$\frac{1}{3}\sqrt{15}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵A₁O=2，
∴直線A₁O與平面A₁BD所成角的正弦值=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

點評 本題考查線面平行的判定與性質，考查線面垂直的證明，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．