Question

14．已知圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ-6sinθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．若直線l與圓C相交于不同的兩點P，Q．
（1）寫出圓C的直角坐標方程，并求圓心的坐標與半徑；
（2）若弦長|PQ|=4，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標化為直角坐標的方法，寫出圓C的直角坐標方程，并求圓心的坐標與半徑；
（2）若弦長|PQ|=4，所以$\frac{|2k+3-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，即可求直線l的斜率．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ-6sinθ，得圓C的直角坐標方程x²+y²-4x+6y=0，
配方，得（x-2）²+（y+3）²=13，所以圓心為（2，-3），半徑為$\sqrt{13}$…（5分）
（2）由直線l的參數(shù)方程知直線過定點M（4，0），則由題意，知直線l的斜率一定存在，
設直線l的方程為y=k（x-4），因為弦長|PQ|=4，所以$\frac{|2k+3-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
解得k=0或k=-$\frac{12}{5}$…（10分）

點評 本題考查極坐標化為直角坐標的方法，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．