Question

6．某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為x萬元時，銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a，a為正常數）．現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品t萬件還需投入成本（10+2t）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為（4+$\frac{20}{t}$）萬元/萬件．
（I）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
（II）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定該產品售價為（4+$\frac{20}{t}$）萬元，y=t×（4+$\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x，銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$，代入化簡得該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
（Ⅱ）分類討論，利用基本不等式及函數的單調性，可求廠家的利潤最大．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，利潤y=t×（4+$\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x
由銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a，a為正常數）．
代入化簡可得：y=20-（$\frac{9}{x+1}$+x），（0≤x≤a，a為正常數）
（Ⅱ）y=21-（$\frac{9}{x+1}$+x+1）≤21-6=15，
當且僅當$\frac{9}{x+1}$=x+1，即x=2時，上式取等號．
當a≥2時，促銷費用投入2萬元時，廠家的利潤最大； 
當0＜a＜2時，y在0≤x≤a上單調遞增，
x=a，函數有最大值．促銷費用投入x=a萬元時，廠家的利潤最大．  
綜上述，當a≥2時，促銷費用投入2萬元時，廠家的利潤最大；
當0＜a＜2時，促銷費用投入x=a萬元時，廠家的利潤最大．

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，考查基本不等式的運用，確定函數解析式是關鍵．