Question

18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以x軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．已知$A（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\;\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）\;，\;\;B（\frac{{7\sqrt{2}}}{10}，\;\frac{{\sqrt{2}}}{10}）$
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求2α+β的值．

Answer 1

分析 （1）先求出兩個銳角α，β的余弦，正弦函數值，進而利用商數關系得到兩角的正切值，代入正切的和角公式求值．
（2）用正切的二倍角公式，和角公式求出2α+β的正切，再根據其正切值求2α+β的值，在確定其值前要先確定2α+β的取值范圍．

解答 解：（1）由已知得：$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cosβ=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．$sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，sinβ=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
∴$tanα=2，tanβ=\frac{1}{7}$．
∴$tan（α+β）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}=\frac{{2+\frac{1}{7}}}{{1-2×\frac{1}{7}}}=3$．
（2）∵tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{1-4}$=-$\frac{4}{3}$，
∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=$\frac{-\frac{4}{3}+\frac{1}{7}}{1-（-\frac{4}{3}）×\frac{1}{7}}$=-1．
∵α，β為銳角，
∴0＜2α+β＜$\frac{3π}{2}$，
∴2α+β=$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查兩角和與差的正切函數，求解的關鍵是利用公式求出角的正切值，再求角．本題中涉及到了三角函數中的多個公式，變形靈活，做題時要注意轉化正確．本題考查了轉化化歸的思想，屬于基礎題．